Верно: Кот просил мяса.
Далее следует распространенное определение, требующее обособления.
Выражение могло возникнуть на базе фольклорных песен. По образности это экспрессивное преуменьшение, основанное на невозможности кошачьего «плача». Коты не проливают слез, да еще в таком количестве, которое можно было бы измерить, отсюда значение фразеологизма: 'очень мало, крайне недостаточно'.
Если определение относится к обоим существительным, то сочетание будет восприниматься однозначно с определением в форме множественного числа.
Да, мужская фамилия Кот склоняется.
Это написание не регулируется правилами правописания, но опирается на практику письма.